Conceptos Preliminares de Álgebra

Álgebra.

Es la rama de la Matemática que estudia la cantidad considerada del modo más general posible.

Carácter del Álgebra y su diferencia con la Aritmética.

El concepto de la cantidad en Álgebra es mucho más amplio que en Aritmética. En Aritmética las cantidades se representan por números y éstos expresan valores determinados. En Álgebra, para lograr la generalización, las cantidades se representan por medio de letras, las cuales pueden representar todos los valores.

Así a representa el valor que nosotros le asignemos, y por tanto puede representar cualquier número, aunque conviene advertir que cuando en un problema asignamos a una letra un valor determinado, esa letra no puede representar, en el mismo problema, otro valor distinto del que le hemos asignado.

Notación Algebraica.

Los símbolos usados en Álgebra para representar las cantidades son los números y las letras:

·         Los números se emplean para representar cantidades conocidas y determinadas.

·         Las letras se emplean para representar toda clase de cantidades, ya sean conocidas o desconocidas.

·         Las cantidades conocidas se expresan por las primeras letras del alfabeto, mientras que las cantidades desconocidas se representan por las últimas letras del alfabeto. Una misma letra puede representar distintos valores diferenciándolos por medio de comillas (a’, a’’, a’’’) o de subíndices (a₁, a₂, a₃).

Fórmulas Algebraicas.

Son una consecuencia de la generalización que implica la representación de las cantidades por medio de letras. La fórmula algebraica es la representación, por medio de letras, de una regla o de un principio general.

Signos del Álgebra.

Los signos empleados en Álgebra son de tres clases: Signos de Operación, Signos de Relación y Signos de Agrupación.

Signos de Operación.

En Álgebra se verifican con las cantidades las mismas operaciones que en Aritmética: Suma, Resta, Multiplicación, División, Elevación a Potencia y Extracción de Raíces, que se indican con los signos siguientes:

·         El Signo de la Suma es +, que se lee más. (a + b)

·         El Signo de la Resta es -, que se lee menos. (a-b)

·         El Signo de la Multiplicación es x, que se lee multiplicado por. En lugar del signo x suele emplearse un punto entre los factores y también se indica la multiplicación colocando los factores entre paréntesis. Entre factores literales o entre un factor numérico y uno literal el signo de multiplicación suele omitirse. (a x b = a * b = (a)(b))

·         El Signo de la División es , que se lee dividido entre. También se indica la división separando el dividendo y el divisor por una raya horizontal. (a b = a / b = )

·         El Signo de la Elevación a Potencia es el exponente, que es un número pequeño colocado arriba y a la derecha de una cantidad, el cual indica las veces que dicha cantidad, llamada base, se toma como factor. Cuando una letra no tiene exponente, su exponente es la unidad. (a² = a * a), (a = a¹)

·         El Signo de Raíz es, llamado radical, y bajo este signo se coloca la cantidad a la cual se le extrae la raíz. ()

Coeficiente.

En el producto de dos factores, cualquiera de los factores es llamado coeficiente del otro factor, y estos pueden ser numéricos (3a = a + a + a) o literales (ab = b + b + b + b…a veces).

En el producto de más de dos factores, uno o varios de ellos son el coeficiente de los restantes. Cuando una cantidad no tiene coeficiente numérico, su coeficiente es la unidad.

Signos de Relación.

Se emplean estos signos para indicar la relación que existe entre dos cantidades. Los principales son:

·         =, que se lee igual a. (a = b)

·         >, que se lee mayor que. (x > y)

·         <, que se lee menor que. (a < b)

Signos de Agrupación.

Los signos de agrupación son: el paréntesis ordinario (), el paréntesis angular o corchete [], las llaves {} y la barra o vínculo ------. Estos signos indican que la operación colocada entre ellos debe efectuarse primero.

Cantidades Positivas y Negativas.

En Álgebra, cuando se estudian cantidades que pueden tomarse en dos sentidos opuestos o que son de condición o de modo de ser opuestos, se expresa el sentido, condición o modo de ser (valor relativo) de las cantidades por medio de los signos + y -, anteponiendo el signo + a las cantidades tomadas en un sentido determinado (cantidades positivas) y anteponiendo el signo – a las cantidades tomadas en sentido opuesto al anterior (cantidades negativas).

Así, el haber se designa con el signo + y las deudas con el signo -. Los grados sobre cero del termómetro se designan con el signo + y los grados bajo cero con el signo -. El camino recorrido a la derecha o hacia arriba de un punto se designa con el signo + y el camino recorrido a la izquierda o hacia debajo de un punto se representa con el signo -. El tiempo transcurrido después de Cristo se considera positivo y el tiempo transcurrido antes de Cristo, negativo. La latitud norte se designa con el signo + y la latitud sur con el signo -; la longitud este se considera positiva y la longitud oeste, negativa.

Elección del Sentido Positivo.

La fijación del sentido positivo en cantidades que pueden tomarse en dos sentidos opuestos es arbitraria, depende de nuestra voluntad; es decir, que podemos tomar como sentido positivo el que queramos; pero una vez fijado el sentido positivo, el sentido opuesto a éste será el negativo.

Cero.

Es la ausencia de cantidad. Las cantidades positivas son mayores que 0 y las negativas son menores que 0. De dos cantidades positivas, es mayor la de mayor valor absoluto (+5 > +3); mientras que de dos cantidades negativas es mayor la de menor valor absoluto (-3 > -9).

Valor Absoluto y Relativo.

Valor absoluto de una cantidad es el número que representa la cantidad prescindiendo del signo o sentido de la cantidad, y valor relativo es el sentido de la cantidad, representado por el signo. El valor absoluto de una cantidad algebraica cualquiera se representa colocando el número que corresponda a dicho valor entre dos líneas verticales. (+8 = |8|)

Cantidades Aritméticas y Algebraicas.

Cantidades aritméticas son las que expresan solamente el valor absoluto de las cantidades representados por los números, pero no nos dicen el sentido o valor relativo de las cantidades.

Cantidades algebraicas son las que expresan el valor absoluto de las cantidades y además su sentido o valor relativo por medio del signo.

Los signos + y – tienen en Álgebra dos aplicaciones: una, indicar las operaciones de suma y resta, y otra, indicar el sentido o condición de las cantidades.

Representación Gráfica de la Serie Algebraica de los Números.

Teniendo en cuenta que el 0 en Algebra es la ausencia de la cantidad, que las cantidades positivas son mayores que cero y las negativas menores que 0, y que las distancias medidas hacia la derecha o hacia arriba de un punto se consideran positivas y hacia la izquierda  o hacia debajo de  un punto negativas, la serie algebraica de los números se puede representar de este modo:

Fuente: Aurelio Baldor - Álgebra.