Multiplicación Algebraica

Multiplicación.

La Multiplicación es una operación que tiene por objeto, dadas dos cantidades llamadas multiplicando y multiplicador, hallar una tercera cantidad, llamada producto, que sea respecto del multiplicando, en valor absoluto y signo, lo que el multiplicador es respecto de la unidad positiva.

El multiplicando y multiplicador son llamados factores del producto.

El orden de los factores no altera el producto. Esta propiedad, demostrada en Aritmética, se cumple también en Álgebra. Así, el producto ab puede escribirse ba; el producto abc puede describirse como bac o acb. Esta es la Ley Conmutativa de la Multiplicación.

Los factores de un producto pueden agruparse de cualquier modo.

Así, en el producto abcd, tenemos:

abcd = a x (bcd) = (ab) x (cd) = (abc) x d.

Esta es la Ley Asociativa de la multiplicación.

Ley de los Signos.

Se distinguen dos casos:

1) Signo del producto de dos factores. En este caso, la regla es:

Signo iguales dan + y signos diferentes dan –

En efecto:

1. (+a) x (+b) = +ab

Porque según la definición de multiplicar, el signo del producto tiene que ser respecto del signo del multiplicando lo que el signo del multiplicador es respecto de la unidad positiva, pero en este caso, el multiplicador tiene el mismo signo que la unidad positiva; luego, el producto necesita tener el mismo signo que el multiplicando, pero el signo del multiplicando es +, luego, el signo del producto será +.

2. (-a) x (+b) = -ab

Porque teniendo el multiplicador el mismo signo que la unidad positiva, el producto necesita tener el mismo signo que el multiplicando, pero éste tiene -, luego, el producto tendrá -.

3. (+a) x (-b) = -ab

Porque teniendo el multiplicador signo contrario a la unidad positiva, el producto tendrá signo contrario al multiplicando, pero el multiplicando tiene +, luego el producto tendrá -.

4. (-a) x (-b) = +ab

Porque teniendo el multiplicador signo contrario a la unidad positiva, el producto ha de tener signo contrario al multiplicando; pero éste tiene -, luego, el producto tendrá +.

Lo anterior se puede resumir diciendo que:

+ por + da +

- por – da –

+ por – da –

- por + da –

2) Signo del producto de más de dos factores. En este caso, la regla es:

a) El signo del producto de varios factores es + cuando tienen un número par de factores negativos o ninguno.

Así, (-a) x (-b) x (-c) x (-d) = abcd

En efecto: Según se demostró antes, el signo del producto de dos factores negativos es +; luego tendremos:

(-a) x (-b) x (-c) x (-d) = (-a, -b,) x (-c, -d) = (+ab) x (+cd) = abcd

b) El signo del producto de varios factores es – cuando tiene un número impar de factores negativos.

Así, (-a) x (-b) x (-c) = -abc

En efecto:

(-a) x (-b) x (-c) = [(-a) x (–b)] x (-c) = (+ab) x (-c) = -abc

Ley de los Exponentes.

Para multiplicar potencias de la misma base se escribe la misma base y se le pone por exponente la suma de los exponentes de los factores.

Así, a⁴ x a³ x a² = a⁴⁺³⁺² = a⁹

En efecto: a⁴ x a³ x a² = aaaa x aaa x aa = aaaaaaaaa = a⁹

Ley de los Cocientes.

El coeficiente del producto de dos factores es el producto de los coeficientes de los factores.

Así, 3a x 4b = 12 ab.

En efecto: Como el orden de los factores no altera el producto, tendremos:

3a x 4b = 3 x 4 x a x b = 12 ab.

Casos de la Multiplicación.

Distinguiremos tres casos:

1) Mutliplicación de Monomios.

2) Multiplicación de un Polinomio por un Monomio.

3) Multiplicación de Polinomios.

I. Multiplicación de Monomios.

Regla: Se multiplican los coeficientes y a continuación de este producto se escriben las letras de los factores en orden alfabético, poniéndole a cada letra un exponente igual a la suma de los exponentes que tenga en los factores. El signo del producto vendrá dado por la Ley de los signos.

II. Multiplicación de Polinomios por Monomios.

Regla: Se multiplica el monomio por cada uno de los términos del polinomio, teniendo en cuenta en cada caso la regla de los signos, y se separan los productos parciales con sus propios signos. Esta es la Ley Distributiva de la Multiplicación.

III. Multiplicación de Polinomios por Polinomios.

Regla: Se multiplican todos los términos del multiplicando por cada uno de los términos del multiplicador, teniendo en cuenta la Ley de los signos, y se reducen los términos semejantes.

Multiplicación por Coeficientes Separados.

La multiplicación de polinomios por el Método de coeficientes separados abrevia la operación y se aplica en los dos casos siguientes:

1) Multiplicación de dos polinomios que contengan una sola letra y estén ordenados en el mismo orden con relación a esa letra.

2) Multiplicación de dos polinomios homogéneos que contengan sólo dos letras comunes y estén ordenados en el mismo orden con relación a una de las letras.

Un polinomio es homogéneo cuando todos sus términos son homogéneos, o sea, cuando la suma de los exponentes de las letras en cada término es una cantidad constante.

El producto de dos polinomios homogéneos es otro polinomio homogéneo.

Cambios de Signos en la Multiplicación.

Las reglas generales para los cambios de signos en la multiplicación son las siguientes:

(+a) (+b) = +ab y (-a) (-b) = +ab

1) Si se cambia el signo a un número par de factores, el signo del producto no varía.

En efecto sabemos que:

(+a) (+b) = +ab y (-a) (-b) = +ab,

Donde vemos que cambiando el signo a dos factores el signo del producto no varía.

2) Si se cambia el signo a un número impar de factores, el signo del producto no varía.

(+a) (-b) = -ab y (-a) (+b) = -ab,

Donde vemos que cambiando el signo a un factor el signo del producto varía.

Cuando los factores sean polinomios, para cambiarles el signo hay que cambiar el signo a cada uno de sus términos. Así, en el producto (a-b) (c-d), para cambiar el signo al factor (a-b), hay que escribir (b-a), donde vemos que a, que tenía +, ahora tiene -, y b, que tenía -, tiene ahora +; para cambiar el signo a (c-d) hay que escribir (d-c).

Por tanto, como cambiando el signo a un factor el producto varía su signo, tendremos:

(a-b) (c-d) = -(b-a) (c-d)

(a-b) (c-d) = - (a-b) (d-c)

Y como cambiando el signo a dos factores el producto no varía de signo, tendremos:

(a-b) (c-d) = (b-a) (d-c)

Tratándose de más de dos factores aplicamos las reglas generales que nos dicen que cambiando el signo a un número par de factores el producto no varía de signo y cambiando el signo a un número impar  de factores el producto varía de signo.

Así, tendremos:

(+a) (+b) (+c) = -(-a) (+b) (+c)

(+a) (+b) (+c) = -(+a) (-b) (+c)

(+a) (+b) (+c) = -(-a) (-b) (-c)

Y también:

(+a) (+b) (+c) = (-a) (-b) (+c)

(+a) (+b) (+c) = (+a) (-b) (-c)

(+a) (+b) (+c) = (-a) (+b) (-c)

Si se trata de polinomios, tendremos:

(a-b) (c-d) (m-n) = - (b-a) (c-d) (m-n)

(a-b) (c-d) (m-n) = - (a-b) (d-c) (m-n)

(a-b) (c-d) (m-n) = - (b-a) (d-c) (n-m)

Y también:

(a-b) (c-d) (m-n) = (b-a) (c-d) (m-n)

(a-b) (c-d) (m-n) = (a-b) (d-c) (m-n)

(a-b) (c-d) (m-n) = (b-a) (d-c) (n-m)

Fuente: Aurelio Baldor - Álgebra.