Teorema del Residuo

Polinomio Entero y Racional.

Un polinomio como x³+5x²-3x+4 es entero porque ninguno de sus término tiene letras en el denominador y es racional porque ninguno de sus términos tiene raíz inexacta. Este es un polinomio entero y racional en x y su grado es 3.

Teorema del Residuo.

El residuo de dividir un polinomio entero y racional en x por un binomio de la forma x-a se obtiene sustituyendo en el polinomio dado la x por a.

Sea el polinomio Ax^m+Bx^m-1+Cx^m-2+…+Mx+N

Dividamos este polinomio por x-a y continuemos la operación hasta que el residuo R sea independiente de x. Sea Q el cociente de esta división.

Como en toda división inexacta el dividendo es igual al producto del divisor por el cociente más el residuo, tendremos:

Ax^m+Bx^m-1+Cx^m-2+…+Mx+N=(x-a)Q+R

Esta igualdad es cierta para todos los valores de x. Sustituyamos la x por a y tendremos:

Ax^m+Bx^m-1+Cx^m-2+…+Mx+N=(a-a)Q+R

Pero (a-a)=0 y (a-a)Q=O*Q=0; luego, la igualdad anterior se convierte en

Ax^m+Bx^m-1+Cx^m-2+…+Mx+N=R

Igualdad que prueba el teorema, pues nos dice que R, el residuo de la división, es igual a los que se obtiene sustituyendo en el polinomio dado la x por a, que era lo que queríamos demostrar.

El residuo de dividir un polinomio ordenado en x por un binomio de la forma bx-a se obtiene sustituyendo en el polinomio dado la x por el quebrado que resulta de dividir el segundo término del binomio con el signo cambiado entre el coeficiente del primer término del binomio.

División sintética. Regla Práctica para hallar el cociente y el residuo de la división de un polinomio entero en x por x-a.

1) Dividamos x³-5x²+3x+14 entre x-3.

	X2-2x-3
x-3	X3-5x2+3x+14
	-x3+3x2
	-2x2+3x+14
	+2x2-6x
	-3x+14
	+3x-9
	5

Sin efectuar la división, el cociente y el residuo pueden hallarse por la siguiente regla práctica llamada división sintética:

1) El cociente es un polinomio en x cuyo grado es 1 menos que el grado del dividendo.

2) El coeficiente del primer término del cociente es igual al coeficiente del primer término del dividendo.

3) El coeficiente de un término cualquiera del cociente se obtiene multiplicando el coeficiente del término anterior por el segundo término del binomio divisor cambiado de signo y sumando este producto con el coeficiente del término que ocupa el mismo lugar en el dividendo.

4) El residuo se obtiene multiplicando el coeficiente del último término del cociente por el segundo término del divisor cambiado de signo y sumando este producto con el término independiente del dividendo:

Dividiendo… Cocientes…	X3	-5x2	+3x	+14	+3	Divisor x 3 (Segndo término del divisor con el signo cambiado
	1	-5	+3	+14
	1x3=	3(-2)x3=	-6(-3)x3=	-9
	1	-2	-3	+5

Divisibilidad por x-a.

Un polinomio entero en x se anula para x=a, o sea sustituyendo en él la x por a, es divisible por x-a.

Condición necesaria para la divisibilidad de un polinomio en ex por un binomio de la forma x-a.

Es condición necesaria para que un polinomio en x sea divisible por un binomio de la forma x-a, que el término independiente del polinomio sea múltiplo del término a del binomio, sin tener en cuenta los signos.

Esta condición no es suficiente, es decir, que aun cuando el término independiente del polinomio sea divisible por el término a del binomio, no podemos afirmar que el polinomio en x sea divisible por el binomio x-a.

1.      Divisibilidad de aⁿ+bⁿ y aⁿ-bⁿ por a+b y a-b.

Siendo n un número entero y positivo, se verifica:

1) aⁿ-bⁿ es siempre divisible por a-b, ya se n impar o impar.

2) aⁿ+bⁿ es divisible por a+b si n es impar.

3) aⁿ-bⁿ es divisible por a+b si n es par.

4) aⁿ+bⁿ no es divisible por a+b si n es par.

5) aⁿ+bⁿ nunca es divisible por a-b, ya sea n par o impar.

Fuente: Aurelio Baldor - Álgebra.